Bachillerato · 6 min de lectura
Derivadas: identifica la regla antes de calcular
La derivada describe cómo cambia una función cerca de un punto. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente cuando esa pendiente existe. Antes de calcular necesitas reconocer potencias, productos y funciones compuestas. Esta guía se centra en funciones polinómicas y sus composiciones; no sustituye el estudio de la definición mediante límites.
1. Empieza por constantes, potencias y sumas
Una constante tiene derivada cero: si f(x) = 8, su valor no cambia al cambiar x. Para potencias enteras positivas, la regla es (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Así, (x⁴)′ = 4x³ y (x)′ = 1. Un factor constante se conserva: (3x²)′ = 6x.
La derivada de una suma se obtiene derivando cada término. Para f(x) = 3x⁴ − 2x² + 7x − 9, resulta f′(x) = 12x³ − 4x + 7. La constante −9 desaparece porque su derivada es cero. Comprueba los exponentes: cada potencia baja una unidad.
2. Un producto exige dos términos
La regla del producto es (u·v)′ = u′·v + u·v′. No multipliques simplemente las derivadas. Si f(x) = (x² + 1)(x + 3), entonces f′(x) = 2x(x + 3) + (x² + 1)·1. Al simplificar, f′(x) = 3x² + 6x + 1.
Puedes comprobar el cálculo expandiendo primero: f(x) = x³ + 3x² + x + 3. Derivar término a término da el mismo resultado. Esta comprobación es útil cuando las expresiones son pequeñas; para productos largos, conservar factores puede ser más claro.
3. La regla de la cadena conecta dos cambios
En f(x) = (2x + 1)³ hay una función dentro de otra. La exterior eleva al cubo y la interior es 2x + 1. Primero deriva la exterior conservando la interior: 3(2x + 1)². Después multiplica por la derivada de la interior, que es 2. El resultado es f′(x) = 6(2x + 1)².
En general, si f(x) = g(h(x)), entonces f′(x) = g′(h(x))·h′(x). Escribir por separado «exterior» e «interior» antes de operar ayuda a no olvidar el segundo factor. Una suma dentro de una potencia no se trata como una suma de potencias.
4. Interpreta el valor y revisa su coherencia
Para f(x) = x², f′(x) = 2x. En x = 3, la pendiente es 6; en x = −3, es −6. La función crece localmente en el primer punto y decrece en el segundo. El signo de la derivada aporta información que puedes contrastar con un dibujo.
Que f′(a) = 0 no garantiza que haya un máximo o un mínimo. Por ejemplo, x³ tiene derivada cero en x = 0 y sigue creciendo a ambos lados. Para clasificar el punto necesitas estudiar cómo cambia el signo de la derivada u otro criterio aplicable.
Errores que puedes evitar
- Olvidar multiplicar por la derivada interior en una composición.
- Usar u′·v′ como derivada de un producto.
- Mantener una constante como si fuera su propia derivada.
Pruébalo antes de mirar
Calcula la derivada de f(x) = (3x − 2)² + 4x y evalúala en x = 1.
Ver la solución explicada
La cadena da 2(3x − 2)·3. Sumamos la derivada de 4x: f′(x) = 6(3x − 2) + 4 = 18x − 8. Por tanto, f′(1) = 10.
Texto y ejemplos originales de Quizy. Pendiente de revisión docente. Actualizado el 9 de septiembre de 2026. Comunicar un error.