Derivadas e integrales: cómo elegir el procedimiento y comprobarlo

1. Reconoce la operación antes de derivar

La derivada expresa un cambio local. Para calcularla, primero mira cómo está construida la función. En una suma, deriva cada término; en un producto, necesitas dos términos; en una composición, intervienen la función exterior y la interior. El aspecto de la expresión te ayuda a elegir, pero no sustituye justificar la regla.

Compara p(x) = (x² + 2)(x − 1) con q(x) = (x² + 2)³. En p se multiplican dos funciones: p′(x) = 2x(x − 1) + (x² + 2) = 3x² − 2x + 2. En q hay una potencia de otra función: q′(x) = 3(x² + 2)² · 2x = 6x(x² + 2)².

Una comprobación independiente para p consiste en expandir primero: p(x) = x³ − x² + 2x − 2. Al derivar término a término obtienes de nuevo 3x² − 2x + 2. Si dos caminos no coinciden, localiza la primera línea donde difieren en vez de cambiar el resultado a ojo.

2. Una derivada también se interpreta

Toma f(x) = x² − 4x + 1. Su derivada es f′(x) = 2x − 4. En x = 1 la pendiente vale −2, mientras que en x = 3 vale 2. La función decrece antes de x = 2 y crece después: ese cambio de signo identifica un mínimo.

El punto mínimo es (2, −3), porque f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. No confundas la abscisa donde se anula la derivada con el valor de la función. Escribir ambas coordenadas permite comprobar qué te pide un ejercicio de optimización.

Una derivada nula por sí sola no basta para afirmar que existe un extremo. Por ejemplo, x³ tiene derivada 3x², que se anula en cero, pero la función sigue creciendo al atravesarlo. Estudia lo que ocurre a ambos lados.

3. Integra y comprueba derivando

Encontrar una primitiva de g significa buscar una función G cuya derivada sea g. Para g(x) = 6x² − 4x + 3, una familia de primitivas es G(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C. La constante C puede variar porque su derivada siempre es cero.

Compruébalo término a término: la derivada de 2x³ es 6x², la de −2x² es −4x y la de 3x es 3. Si tu respuesta fuera 6x³ − 4x² + 3x, esta comprobación revelaría los factores que faltan al integrar.

Cuando te dan una condición, puedes determinar C. Si G(0) = 5, sustituir x = 0 deja C = 5. Sin una condición adicional, no hay motivo para escoger una constante concreta.

4. Distingue integral definida y área

Para evaluar la integral de 2x + 1 entre 0 y 3, utiliza la primitiva F(x) = x² + x. Resta el valor en el límite inferior al del superior: F(3) − F(0) = 12 − 0 = 12. La constante desaparece en la resta.

Una integral definida cuenta contribuciones con signo. La integral de x entre −1 y 1 vale cero, porque F(1) − F(−1) = 1/2 − 1/2. Sin embargo, el área geométrica entre esa recta y el eje no es cero: los dos triángulos tienen área 1/2 cada uno.

Si el enunciado pide área, encuentra los cambios de signo y divide el intervalo. Para este ejemplo, suma las áreas de [−1, 0] y [0, 1]: 1/2 + 1/2 = 1. Antes de calcular, subraya si te piden una primitiva, una integral definida o un área.

Ejercicios resueltos para comprobar lo aprendido

Intenta explicar tu respuesta en papel antes de abrir la solución. Después compara el razonamiento, no solo el resultado.

Fuentes de consulta

Estas referencias explican los conceptos de la guía. Los ejemplos y las soluciones están redactados para Quizy; las fuentes no han revisado ni avalado esta página.

• Reglas de derivación — OpenStax, Calculus Volume 1
• Regla de la cadena — OpenStax
• Teorema fundamental del cálculo — OpenStax

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